Question

已知：3sin²α＋2sin²β＝1，3sin2α－2sin2β＝0，且α、β为锐角．求证：α＋2β＝．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　该题有两个已知条件，由于待证等式中只含有角α和2β，故应将已知条件变形，使之也只含α＋2β． 　　解答　　证法一　　因为3sin2α＋2sin2β＝1， 　　3sin2α－2sin2α＝0，所以cos2β＝3sin2α，① 　　sin2β＝3sinαcosα．② 　　因为cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsinβ 　　＝cosα·3sin2α－sinα·3sinα·cosα 　　＝3sin2αcosα－3sin2αcosα＝0， 　　且α，β为锐角，0＜α＋2β＜， 　　所以α＋2β＝ 　　证法二 同证法一，由已知得 　　cos2β＝3sin2α，① 　　sin2β＝3sinαcosα② 　　①÷②式，得cos2β＝tanα． 　　所以cot2β＝cot(－α)． 　　因为α，β为锐角， 　　所以2β与－α均在(0，π)内， 　　所以2β＝－α，即α＋2β＝2π． 　　评析　　证法一是应用“代入条件”的思路；证法二则是应用“变形条件”的思路，由于有两个条件等式，因此应用后一种思路时需将两条件“二合一”，本例采用两式相除的办法来实现合一的． 　　证“角＋角＝角”型题的步骤为： 　　(1)判定取何种三角函数值； 　　(2)求出和角的该种三角函数值； 　　(3)确定和角的取值范围； 　　(4)由该种函数的单调性写出所求和角的值．