Question

如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，由已知条件判断该曲线为椭圆，由所给条件易求a，b，c值；
（2）分两种情况进行讨论：直线存在斜率k时，设直线方程，与椭圆联立方程组，根据判别式可求得k的范围，用韦达定理及=λ可得λ与k的关系式，借助k的范围即可求得λ范围，注意M点位于中间；当直线不存在斜率k时，易求λ值，综上即可求得范围．
解答：解 （1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4，
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆，设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2，
∴a=，c=2，b=1，∴曲线C的方程为+y²=1；
（2）当直线存在斜率时，设直线l的方程为y=kx+2，代入+y²=1，
得（1+5k²）x²+20kx+15=0，△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k²＞，
由图可知=λ，由韦达定理得，
将x₁=λx₂代入得，
，
∴，∴5＜+5＜，∴4＜＜，即4＜＜，
∴解得＜λ＜3，∵λ==，M在D、N之间，∴λ＜1，
当直线不存在斜率时，易知λ==（此时直线与y轴重合），
综上，＜1..
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．