题目内容
在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足
＝
＝
＝
＝k.
(1)求证：M、N、P、Q共面.
(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)
解析:
(1)∵ ＝＝k
∴ MQ∥BD，且
＝
∴ 
＝
＝
∴ MQ＝BD
又 ＝＝k
∴ PN∥BD，且
＝
∴ 
＝
＝从而NP＝BD
∴ MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.
(2)∵ 
＝
，
＝
∴ ＝＝,
＝
∴ MN∥AC，又NP∥BD.
∴ MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.
∵ MNPQ是正方形，∴ ∠MNP＝90°
∴ AC与BD所成的角为90°，
又AC＝a，BD＝b，
＝
＝
∴ MN＝a
又 MQ＝b,且MQ＝MN，
b＝a，即k＝
.
说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.
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8、在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点E，F，G，H，若EH、FG所在直线相交于点P，则（ ）在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则
+
-
-
化简后的结果为（ ）
| AB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
| 3 |
| 2 |
| DE |
| AD |
A、
| ||
B、2
| ||
C、
| ||
D、2
|
（2011•顺义区一模）如图，已知在空间四边形ABCD中，AB=AC=DB=DC，E为BC的中点．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，若四边形EFGH的面积为
a2，则异面直线AC与BD所成的角为（ ）
| ||
| 8 |
| A、30° | B、60° |
| C、120° | D、60°或120° |