Question

已知直线l:y=ax-1,双曲线C:3x²-y²=1.

(1)若l与C总有两个公共点,求a的取值范围;

(2)若l与C交于点A、B,且以AB为直径的圆过原点,求a.

Answer 1

解:由(3-a²)x²+2ax-2=0.

(1)若直线l与曲线C总有两个公共点,则3-a²≠0,且4a²+8(3-a²)=-4(a²-6)＞0,

即a²-6＜0,∴-＜a＜,且a≠±3,

即a的取值范围为(-,-)∪(-,)∪(3,).

(2)如图所示,设l与C的交点A、B的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),由韦达定理可得:x₁+x₂=,

x₁x₂=.

∴y₁y₂=(ax₁-1)(ax₂-1)=a²x₁x₂-a(x₁+x₂)+1=1.

∵以AB为直径的圆经过坐标原点,则OA⊥OB,即·=-1,也就是x₁x₂+y₁y₂=0,

∴1=0.∴a=1,或a=-1.

结合(1)可知,当a=±1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.