Question

已知函数f(x)=,x∈［1,?+∞).

(1)当a=时，求函数f(x)的最小值；

（2）若对任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

Answer 1

解析：（1）f(x)=x++2,令x₁＞x₂≥1,则f(x₁)-f(x₂)=(x₁-x₂)＞0,

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴f(x)在［1,+∞)上递增.

∴f(x)_min=f(1)=.

（2）在x∈［1,+∞)上，f(x)=＞0恒成立，即x²+2x+a＞0恒成立.

令y=(x+1)²-1+a,x∈［1,+∞),

当x=1时，y_min=3+a，

∴3+a＞0,即a＞-3.