题目内容
已知椭圆
+
=1 ( a＞b＞0 )的一个顶点A与抛物线y=
x2的焦点重合，离心率e=
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：y=kx-2（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N满足
=
，
•
=0，求k．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 8 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：y=kx-2（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N满足
| MP |
| PN |
| AP |
| MN |
分析：（1）设c=
，依题意得
，由此能求出椭圆方程．
（2）由
=
，
•
=0，知AP⊥MN，且点P线段MN的中点，由
，得（1+3k2）x2-12kx=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），则x1+x2=
，P (
，
)．由k≠0，知直线AP的斜率为k1=
=
，由MN⊥AP，解得k=±
．
| a2-b2 |
|
（2）由
| MP |
| PN |
| AP |
| MN |
|
| 12k |
| 1+3k2 |
| 6k |
| 1+3k2 |
| -2 |
| 1+3k2 |
| ||
|
| -2-2(1+3k2) |
| 6k |
| ||
| 3 |
解答：解：（1）设c=
，依题意得
，即
∴a2=3b2=12，即椭圆方程为
+
=1．
（2）∵
=
，
•
=0∴AP⊥MN，且点P线段MN的中点，
由
消去y得x2+3（kx-2）2=12，即（1+3k2）x2-12kx=0（*）
由k≠0，得方程（*）的△=（-12k）2=144k2＞0，显然方程（*）有两个不相等的实数根．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），
则x1+x2=
，∴x0=
=
∴y0=kx0-2=
=
，即P (
，
)∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1=
=
，
由MN⊥AP，得
×k=-1，
∴2+2+6k2=6，解得：k=±
，
| a2-b2 |
|
|
∴a2=3b2=12，即椭圆方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 4 |
（2）∵
| MP |
| PN |
| AP |
| MN |
由
|
由k≠0，得方程（*）的△=（-12k）2=144k2＞0，显然方程（*）有两个不相等的实数根．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），
则x1+x2=
| 12k |
| 1+3k2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 6k |
| 1+3k2 |
∴y0=kx0-2=
| 6k2-2 (1+3k2) |
| 1+3k2 |
| -2 |
| 1+3k2 |
| 6k |
| 1+3k2 |
| -2 |
| 1+3k2 |
| ||
|
| -2-2(1+3k2) |
| 6k |
由MN⊥AP，得
| -2-2(1+3k2) |
| 6k |
∴2+2+6k2=6，解得：k=±
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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