Question

（2011•蓝山县模拟）若函数f（x）=cos2x+acosx（x∈R）的最小值为-4，则a 的值为

±5

．

Answer 1

分析：由二倍角公式可得f（x）=cos2x+acosx=2cos²x+acosx-1，令t=cosx，则-1≤t≤1，则f（t）=2t²+at-1=2（t2+

1

2

at）-1
=2(t+

a

4

)2-

a2

8

-1，要求函数在[-1，1]上最小值，则需要讨论对称轴-

a

4

与区间[-1，1]的位置关系，分别求解即可

解答：解：∵f（x）=cos2x+acosx=2cos²x+acosx-1
令t=cosx，则-1≤t≤1，f（t）=2t²+at-1=2（t2+

1

2

at）-1
=2(t+

a

4

)2-

a2

8

-1
①当-

a

4

≤-1即a≥4时，t=-1时函数有最小值f（-1）=1-a=-4
∴a=5
②当-

a

4

≥1即a≤-4时，t=1时，函数有最小值f（1）=1+a=-4
∴a=-5
③当-1＜-

a

4

＜1即-4＜a＜4时，t=-

a

4

时，函数有最小值f（-

a

4

）=-1-

a2

8

=-4
∴a=±2

6

（舍去）
综上可得a=±5
故答案为：±5

点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，换元法求解函数的值域，二次函数闭区间上的最值的求解，注意分类讨论思想的应用