Question

6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF₁是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e²=5-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 可设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．

解答 解：设|AF₂|=m，由|AF₁|-|AF₂|=2a，
∴|AF₁|=2a+|AF₂|=2a+m，
又|AF₁|=|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m+|BF₂|，
∴|BF₂|=2a，又|BF₁|-|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=4a，
依题意$|{B{F_1}}|=\sqrt{2}|{A{F_1}}|$，即$4a=\sqrt{2}（{2a+m}）$，$m=2（{\sqrt{2}-1}）a$，
在Rt△F₁AF₂中${|{A{F_1}}|^2}+{|{A{F_2}}|^2}=4{c^2}$，即$8{a^2}+{（{2\sqrt{2}a-2a}）^2}=4{c^2}$，
即${c^2}=5{a^2}-2\sqrt{2}{a^2}$，∴e²=$5-2\sqrt{2}$．
故答案为：5-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．