Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

5π

6

，原点到该直线的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，能求出椭圆方程．
（2）将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，得（3k²+1）x²+12kx+9=0．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过D（1，0），则（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，由此能推导出存在k=-

7

6

满足题意．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

5π

6

，
原点到该直线的距离为

3

2

，
∴

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，
解得a=

3

，b=1，
∴椭圆方程是

x2

3

+y2=1．
（2）将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过D（1，0）
则PD⊥QD，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
得（k²+x）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5=0，
又x1x2=

9

3k2+1

，x1+x2=-

12k

3k2+1

，
代上式，得k=-

7

6

，
∵此方程中，△=144k²-36（3k²+1）＞0，∴k＞1，或k＜-1．
∴存在k=-

7

6

满足题意．

点评：本题考查椭圆方程的求法，探索满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．