Question

设函数f（x）是定义在R上的增函数，且f（x）≠0，对于任意x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂）.

（1）求证：f（x₁-x₂）=；

（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）.

Answer 1

思路解析：由于函数y=a^x具有本题中f（x）的条件与结构，因而在解题时可以用指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）为模型类比.

本题考查抽象函数的性质.

（1）证明：∵f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）·f（x₂），又f（x）≠0，∴f（x₁-x₂）=.

（2）解：∵f（1）=2，∴2f（x）=f（1）·f（x）=f（1+x），4f（x）=2·2f（x）=f（1）·f（1+x）=f（2+x）.

那么f（3x）＞4f（x）可化为f（3x）＞f（2+x）.

又∵函数f（x）是定义在R上的增函数，

由f（3x）＞f（2+x）得3x＞2+x，即x＞1.

故不等式f（3x）＞4f（x）的解集是{x|x＞1}.