Question

已知P（2，0），点Q（x，y）满足

x-2y+2≥0 y≥|x|

，目标函数z=2x-y的最小值、最大值分别为a，b，则|

PQ

|cos∠OPQ（O为原点）的取值落在区间[a，b]上的概率为

2

3

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值即可得到区间[a，b]；再结合|

PQ

|cos∠OPQ（O为原点）求出其所在的区间，最后利用几何概型的计算公式求解即得．

解答：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由z=2x-y可得y=x-z，则-z表示目标函数直线在y轴上的截距
截距越大，则z越小，截距越小，z越大
作直线L：y=2x，然后把直线向可行域平移
由

x-2y+2=0 y=x

可得B（2，2），此时Z=2；
由

y=-x x-2y+2=0

可得A（-

2

3

，

2

3

），此时Z=2
易知最小值和最大值分别在点（-

2

3

，

2

3

）和（2，2）取得，[a，b]=[-2，2]，
又|

PQ

|cos∠OPQ（O为原点）表示

PQ

在x轴上射影的长度，故|

PQ

|cos∠OPQ∈[0，

8

3

]，
故概率为

8 3 -0

2-(-2)

=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：考查向量投影（或过两点的斜率公式）、几何概型，考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于中档试题．