Question

17、如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．
求证：（1）CD⊥PD；
（2）EF∥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，得到PA⊥CD，再通过四边形ABCD为矩形，得到CD⊥AD，由线面垂直的判定证得CD⊥平面PAD，从而证明CD⊥PD；
（2）取CD中点G，连接EG、FG，由中位线定理得FG∥PD，EG∥AD，由面面平行的判定定理证明平面EFG∥平面PAD，从而有EF∥平面PAD．

解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）取CD中点G，连接EG、FG，∴FG∥PD，EG∥AD，（中位线定理）
∵PD?平面PAD，AD?平面PAD，且PD∩AD=D，∴平面EFG∥平面PAD，
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面PAD．

点评：本题主要考查三角形的中位线定理，线面平行和线面垂直的判定定理，培养学生的平面与空间及线线关系、线面关系、面面关系的转化能力．