题目内容
16、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AD=CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．（1）证明：PA∥面BDE；
（2）证明：面PAC⊥面PDB．
分析：（1）欲证PA∥面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与面BDE内一直线平行即可，连接AC，交BD于O，连接OE，得到OE∥PA，满足定理条件；
（2）欲证面PAC⊥面PDB，根据面面垂直的判定定理可知只需证面ABCD内一直线AC垂直面PDB即可，而AC⊥PD，AC⊥DB，PD?面PDB，BD?面PDB，PD∩DB=D，根据线面垂直的判定定理可知符合定理条件．
（2）欲证面PAC⊥面PDB，根据面面垂直的判定定理可知只需证面ABCD内一直线AC垂直面PDB即可，而AC⊥PD，AC⊥DB，PD?面PDB，BD?面PDB，PD∩DB=D，根据线面垂直的判定定理可知符合定理条件．
解答：证明：（1）连接AC，交BD于O，连接OE
∵DB平分∠ADC，AD=CD∴AC⊥BD且OC=OA
又∵E为PC的中点∴OE∥PA
又∵OE?面BDE，PA?面BDE∴PA∥面BDE
（2）由（1）知AC⊥DB
∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD∴AC⊥PD
∵PD?面PDB，BD?面PDB，PD∩DB=D∴AC⊥面PDB
又AC?面PAC∴面PAC⊥面PDB．
∵DB平分∠ADC，AD=CD∴AC⊥BD且OC=OA
又∵E为PC的中点∴OE∥PA
又∵OE?面BDE，PA?面BDE∴PA∥面BDE
（2）由（1）知AC⊥DB
∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD∴AC⊥PD
∵PD?面PDB，BD?面PDB，PD∩DB=D∴AC⊥面PDB
又AC?面PAC∴面PAC⊥面PDB．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
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