Question

在等差数列{a_n}中，S_n是其前n项的和，且a₁=2，

S2009

2009

-

S2007

2007

=2，则数列{

1

Sn

} 的前n项的和是

n

n+1

．

Answer 1

分析：利用等差数列的前n项和公式表示出S₂₀₀₉和S₂₀₀₇，代入已知的等式中，根据等差数列的性质化简，求出公差d的值，再由首项的值，利用等差数列的求和公式得出

1

Sn

的通项公式，利用拆项的方法化简，然后把所求数列的每一项列举出来，利用拆项得到的规律变形，抵消合并，即可得到所求数列的前n项和．

解答：解：∵S₂₀₀₉=

2009(a1+a2009)

2

，S₂₀₀₇=

2009(a1+a2007)

2

，
∴

S2009

2009

-

S2007

2007

=

a1+a2009

2

-

a1+a2007

2

=d=2，又a₁=2
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=2n+n（n-1）=n（n+1），
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则数列{

1

Sn

} 的前n项的和为

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案为：

n

n+1

点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，以及数列的求和，本题数列的求和方法是利用拆项的方法化简通项公式，抵消合并可得数列的和，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．