Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证，直线PB与AC垂直；
（3）求二面角A-PB-D的大小；
（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（5）求四棱锥外接球的半径．

Answer 1

分析：（1）要证PD⊥平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线，而所给已知量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理．
（2）从图形的特殊性，应先考虑PB与AC是否垂直，若不垂直然后再转化．
（3）由于AC⊥平面PBD，所以用垂线法作出二面角的平面角．
（4）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解．
（5）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五的距离均为半径，只要找出球心的位置即可，在Rt△PDB中，斜边PB的中点为F，则PF=FB=FD不要证明FA=FC=FP即可．

解答：解：（1）证明：∵PD=a，AD=a，PA=

2

a，
∴PD²+DA²=PA²，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）连接BD，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB∵PB?平面PDB
∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90°
（3）设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE
∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB
∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，PB=

PD2+BD2

=

3

a，
在Rt△PAB中，
∵S=

1

2

PA•AB=

1

2

•PB•AE
∴AE=

PA•AB

PB

=

2 a•a

3 a

=

2

3

a，AO=

1

2

AC=

2

2

a
在Rt△AOE中，sin∠AEO=

AO

AE

=

3

2

，∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小为60．
（4）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，
设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为RVP-ABCD=

1

3

•S?ABCD•PD=

1

3

•a•a•a=

1

3

a3S△PAD=S△PDC=

1

2

•a•a=

1

2

a2
S△PAB=S△PBC=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2
S_?ABCD=a²
∵V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC

1

3

a3=

1

3

R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+S?ABCD)

1

3

a3=

1

3

R(

1

2

a2+

1

2

a2+

2

2

a2+

2

2

a2+a2)
∴

R

3

(2+

2

)a2=

1

3

a3∴R=

a

2+ 2

=

2- 2

2

a=(1-

2

2

)a
∴球的最大半径为（1-

2

2

a）
（5）设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD
在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC
∴FP=FB=FA=FC=FD∴F为四棱锥外接球的球心
则FP为外接球的半径∵FP=

1

2

PB∴FP=

3

2

a
∴四棱锥外接球的半径为

3

2

a

点评：本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点．“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等．求体积或运用体和解决问题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差．