Question

过点M（m，1）作直线AB交抛物线x²=y于A、B两点，且|MA|=|MB|，过点M作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）求△ABC的面积的最大值，并求此时m的值．

Answer 1

分析：（I）利用直线与抛物线的相交弦中点是M，结合韦达定理及直线与抛物线相交的条件求解；
（II）将三角形的面积表示为关于m的函数，再求函数的最值即可．

解答：解：（I）设AB直线方程为y=k（x-m）+1
代入抛物线方程x²=y得，x²-kx+mk-1=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵M是AB的中点，所以m=

x1+x2

2

=

k

2

，即k=2m
方程（*）即为：x²-2mx+2m²-1=0（**）
由△=4m²-8m²+4＞0得-1＜m＜1
∴m的取值范围是（-1，1）
（II）∵M（m，1），C（m，m²），MC⊥x轴，
∴|MC|=1-m²，
由方程（**）得x1+x2=2m，x1x2=2m2-1
∴S_△ABC=S_ACM+S_BCM=

1

2

|x1-x2| ． |MC|
=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

 ． |MC|
=

1

2

4-4m2

 ． (1-m2)=(1-m2)

3

2

≤1
所以△ABC的面积的最大值为1，此时m=0

点评：本题考查直线与抛物线的综合问题．利用函数思想求最值．