Question

已知函数f(x)=2

2x

-2的反函数为f^-1（x），各项均为正数的两个数列{a_n}，{b_n}满足：a_n=f（S_n），b_n=f^-1（n），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}的前n项和为T_n，且cn=

2

(an+1+2) bn

，试比较T_n与

1

2

的大小．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=2

2x

-2可得其反函数f^-1（x）=

1

8

(x+2)2(x≥-2)，于是bn=

1

8

(n+2)2，n∈N*，由a_n=f（S_n）=2

2Sn

-2，得Sn=

1

8

(an+2)2，从而有a_n=

S1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

；
（2）由（1）知，an=4n-2，bn=

1

8

(n+2)2，故cn=

2

(an+1+2)• bn

=

2

(4n+4)• 2 4 (n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
因此Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

．

解答：解：（1）由f(x)=2

2x

-2，得f-1(x)=

1

8

(x+2)2(x≥-2)，
∴bn=

1

8

(n+2)2，n∈N*．
由an=f(Sn)=2

2Sn

-2，得Sn=

1

8

(an+2)2，
当n=1时，得a₁=2；
当n≥2时，Sn-1=

1

8

(an-1+2)2，
∴Sn-Sn-1=

1

8

(an+2)2-

1

8

(an-1+2)2，
∴a_n=

1

8

（a_n+a_n-1+4）•（a_n-a_n-1）
∴（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-4）=0，
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=4（n≥2），又a₁=2，
∴an=4n-2，bn=

1

8

(n+2)2；
（2）cn=

2

(an+1+2)• bn

=

2

(4n+4)• 2 4 (n+2)

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

点评：本题考查数列与函数的综合，关键是由函数f(x)=2

2x

-2求得其反函数f^-1（x）=

1

8

(x+2)2(x≥-2)，再转化为数列问题，着重考查分类讨论求数列通项与裂项法求和，突出化归思想，属于难题．