Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+bx2+cx，b，c∈R，且函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减．
（Ⅰ）若b=-2，求c的值；
（Ⅱ）求证：c≥3．

Answer 1

分析：（1）由题意得x=1是函数的一个极值点，先求导数fˊ（x），根据f^‘（1）=0即可求得c；
（2）根据第一问可知b=-

c+1

2

，将其代入f（x）进行化简整理，研究它的单调区间，结合图象法求出c的范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得f'（1）=0
又f'（x）=x²+2bx+c
f'（1）=1+2b+c=0，
将b=-2代入，可得c=3
（Ⅱ）可知b=-

c+1

2

，代入f′（x）可得f′（x）=x²-（c+1）x+c．
令f'（x）=0，则x₁=1，x₂=c．
又当-1＜x＜1时，f'（x）≥0，当1＜x＜3时，f'（x）≤0
如图所示；
易知c≥3．

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．