已知椭圆M:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.短半轴长是1(1)求椭圆M的方程(2)已知C是椭圆M上异于左.右顶点A.B的一动点.作CD⊥x轴于点D.延长DC到点E.使得|DC|=|CE|.直线BE交直线x=-2于点F.AF的中点是G.试判断直线GE与以AB为直径的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短半轴长是1
（1）求椭圆M的方程
（2）已知C是椭圆M上异于左、右顶点A，B的一动点，作CD⊥x轴于点D，延长DC到点E，使得|DC|=|CE|，直线BE交直线x=-2于点F，AF的中点是G，试判断直线GE与以AB为直径的圆的位置关系．

分析（1）由题意得b=1，e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$；从而求椭圆M的方程即可；
（2）由题意作出辅助图象，设C（2cosθ，sinθ），F（-2，y）；从而可得E（2cosθ，2sinθ），点F（-2，4$\frac{sinθ}{1-cosθ}$），G（-2，2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$）；从而可得$\overrightarrow{EG}$=（-2-2cosθ，2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$-2sinθ），$\overrightarrow{OE}$=（2cosθ，2sinθ）；从而证明直线GE是以AB为直径的圆的切线．

解答解：（1）由题意得，b=1，e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$；
解得，a=2；
故椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由题意作辅助图象如右图，
设C（2cosθ，sinθ），F（-2，y）；
∵|DC|=|CE|，∴E（2cosθ，2sinθ）；
∴点E在以AB为直径的圆上，
∵B、E、F三点共线，
∴$\frac{2sinθ-0}{2cosθ-2}$=$\frac{y-0}{-2-2}$，
∴y=4$\frac{sinθ}{1-cosθ}$；
故点F（-2，4$\frac{sinθ}{1-cosθ}$），G（-2，2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$）；
$\overrightarrow{EG}$=（-2-2cosθ，2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$-2sinθ），$\overrightarrow{OE}$=（2cosθ，2sinθ）；
故$\overrightarrow{EG}$•$\overrightarrow{OE}$=（-2-2cosθ）2cosθ+（2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$-2sinθ）2sinθ
=-4cosθ-4cos²θ+4$\frac{si{n}^{2}θcosθ}{1-cosθ}$=-4cosθ-4cos²θ+4cosθ（1+cosθ）=0；
故直线GE是以AB为直径的圆的切线．