Question

已知函数f（x）=|x|（x-a），a为实数．
（1）当a=1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a≤0时，指出函数f（x）的单调区间（不要过程）；
（3）是否存在实数a（a＜0），使得f（x）在闭区间上的最大值为2．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用特殊值代入法即可证明此函数既不是奇函数，又不是偶函数；（2）将函数转化为分段函数，利用二次函数的图象和性质即可得此函数的单调区间；（3）先证明函数f（x）在闭区间上取最大值为2时，x必在区间[-1，0]上，再利用（2）中的结论，通过讨论求函数在[-1，0]上的最大值，列方程即可解得a的值
解答：解：（1）a=1时，f（x）=|x|（x-1），
∵f（1）=0，f（-1）=-2，
∴f（1）≠-f（-1），f（1）≠f（-1），
∴f（x）既不是奇函数，又不是偶函数．
（2）a=0时，f（x）=|x|x，单调增区间为（-∞，+∞）
a＜0时，f（x）=，
单调增区间为（-∞，），（0，+∞），单调减区间为（，0）
（3）∵a＜0，∴f（-1）=-1-a≤2
∴a≥-3
∴f（）=（-a）≤＜2
由（2）知，f（x）在（0，+∞）上递增
∴f（x）必在区间[-1，0]上取最大值2
当＜-1，即a＜-2时，
则f（-1）=2，a=-3，成立
当≥-1，即0＞a≥-2时，
则f（）=2，则a=±2（舍）
综上，a=-3
点评：本题综合考查了函数奇偶性的定义及其判断方法，分段函数的函数图象和性质，利用单调性讨论函数的最值的方法，分类讨论的思想方法