题目内容
（2013•怀化三模）在△ABC中，已知A=45°，cosB=
．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长．
| 4 | 5 |
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长．
分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据三角形的内角和定理得到所求式子中C等于180°-A-B，而A=45°，得到C=135°-B，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinB和cosB的值代入即可求出值；
（II）利用三角函数的正弦定理求出边AB的长；利用三角形的余弦定理求出CD的长．
（II）利用三角函数的正弦定理求出边AB的长；利用三角形的余弦定理求出CD的长．
解答：解：（Ⅰ）∵cosB=
，且B∈（0°，180°），
∴sinB=
B=
sinC=sin（180°-A-B）=sin（135°-B）
=sin135°cosB-cos135°sinB=
•
-（-
）•
=
（II）由（Ⅰ）可得sinC=
由正弦定理得
=
，即
=
，解得AB=14
在△BCD中，BD=7，CD2=72+102-2×7×10×
=37，
所以CD=
| 4 |
| 5 |
∴sinB=
| 1-cos2 |
| 3 |
| 5 |
sinC=sin（180°-A-B）=sin（135°-B）
=sin135°cosB-cos135°sinB=
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
7
| ||
| 10 |
（II）由（Ⅰ）可得sinC=
7
| ||
| 10 |
由正弦定理得
| BC |
| sinA |
| AB |
| sinC |
| 10 | ||||
|
| AB | ||||
|
在△BCD中，BD=7，CD2=72+102-2×7×10×
| 4 |
| 5 |
所以CD=
| 37 |
点评：本题考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式、考查三角形中的正弦定理、余弦定理，是一道中档题．
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世纪百通期末金卷系列答案
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