Question

已知双曲线x²-

y2

3

=1，过点P（2，1）作一条直线交双曲线于A，B，并使P为AB的中点，求AB所在直线的方程和弦AB的长

Answer 1

分析：设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为x₁，x₂，利用韦达定理可表示出x₁+x₂的值，根据P点坐标求得x₁+x₂=4进而求得k，则直线AB的方程可得，进而利用弦长公式求得|AB|．

解答：解：易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y-1=k（x-2）
由

y-1=k(x-2) x2- y2 3 =1

得（3-k²）x²+2k（2k-1）x-4（k²-k+1）=0
设此方程两实根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=

2k(2k-1)

k2-3

又P（2，1）为AB的中点，
所以

2k(2k-1)

k2-3

=4
解得，k=6
当k=6时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0所求直线AB的方程为y-1=6（x-2）化成一般式为6x-y-11=0．
∴|AB|=

1+k2

•

(x1-x2)2

=

37

×

16-4× 31×4 33

=

4 2442

33

．

点评：本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查了学生综合分析和推理的能力．