Question

已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设切点A（x，y），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，再由点D（0，-2）在l上，能求出点A的纵坐标．
（Ⅱ）由得，切线斜率，设B（x₁，y₁），切线方程为y=kx-2，由，得a²=4b²，所以椭圆方程为，b²=p+4，由，由此能求出椭圆方程．
解答：解：（Ⅰ）设切点A（x，y），且，
由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，-2）在l上，
∴，即点A的纵坐标y=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得，切线斜率，
设B（x₁，y₁），切线方程为y=kx-2，由，得a²=4b²，…（7分）
所以椭圆方程为，且过，∴b²=p+4…（9分）
由，∴，…（11分）
=
将，b²=p+4代入得：p=32，所以b²=36，a²=144，
椭圆方程为．…（15分）
点评：本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．