Question

设函数f（x）=x²，g（x）=mlnx（m＞0），已知f（x）与g（x）有且仅有一个公共点．
（1）求m的值；
（2）对于函数h（x）=ax+b（a，b∈R），若存在a，b，使得关于x的不等式g（x）≤h（x）≤f（x）+1对于g（x）定义域上的任意实数x恒成立，求a的最小值以及对应的h（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）令f（x）=g（x），即x²=mlnx（x＞0），
可得，设，
则，
令p'（x）=0，得．
当时，p'（x）＞0，p（x）递增；
当时，p'（x）＜0，p（x）递减．
考虑到x∈（0，1]时，
时，；时，．
考虑到m＞0，故，因此m=2e．…（4分）
（2）由（1）知，g（x）=2elnx．
g（x）≤h（x）≤f（x）+1，可知a＞0． …（6分）
（ⅰ）由h（x）≤f（x）+1对x∈（0，+∞）恒成立，
即x²-ax-b+1≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
所以△=（-a）²-4（-b+1）≤0，
解得①．…（8分）
（ⅱ）由g（x）≤h（x）对x∈（0，+∞）恒成立，
即2elnx-ax-b≤0对x∈（0，+∞）恒成立，
设G（x）=2elnx-ax-b，x∈（0，+∞），
则，
令G'（x）=0，得．
当时，G'（x）＞0，G（x）递增；
当时，G'（x）＜0，G（x）递减．
故，
则须，即得②．
由①②得③． …（10分）
存在a，b，使得③成立的充要条件是：
不等式④有解．…（12分）
不等式④可化为，
即，
令，则有-t²+2elnt+1≥0，
设φ（t）=-t²+2elnt+1，
则，
可知φ（t）在上递增，上递减．
又φ（1）=0，，
φ（e）=-e²+2elne+1=-e²+2e+1＜0，
所以φ（t）=-t²+2elnt+1在区间内存在一个零点t₀，
故不等式-t²+2elnt+1≥0的解为1≤t≤t₀，
即，得2≤a≤2t₀．
因此a的最小值为2，代入③得0≤b≤0，故b=0，
对应的h（x）的解析式为h（x）=2x． …（16分）
分析：（1）令x²=mlnx（x＞0），得，设，令p'（x）=0，得．再结合函数的单调性，能求出m的值．
（2）由g（x）=2elnx．g（x）≤h（x）≤f（x）+1，可知a＞0．（ⅰ）由x²-ax-b+1≥0对x∈（0，+∞）恒成立，知△=（-a）²-4（-b+1）≤0，解得．（ⅱ）由2elnx-ax-b≤0对x∈（0，+∞）恒成立，设G（x）=2elnx-ax-b，x∈（0，+∞），利用导数解得得．由此能求出对应的h（x）的解析式．
点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．