Question

（2010•柳州三模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又|OA|=2|OB|，

OA

•

OC

=2过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）证明：B、P、N三点共线．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，表示出A，B的坐标．根据|

OA

|=2|

OB

|以及

OA

•

OC

=2，联立求出a与c的值，然后写出双曲线的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得出B，F的坐标，然后设出直线方程．将直线方程代入双曲线方程，设出两个交点的坐标，用设而不求韦达定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值，此时即可表示出

BP

，

BN

，最后根据向量共线的定义即可判定B、P、N三点共线．

解答：解：（Ⅰ）A（a，0），B (

a2

c

，0)
由|

OA

|=2|

OB

|⇒ 

a2

c

=

a

2

(1)
由

x= a2 c y= b a x

⇒C(

a2

c

，

ab

c

)，
∴

OA

•

OC

=2⇒

a2

c

=2(2)
解（1）（2）得a=2，c=4
双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P(x1，-y1)∴

y1+y2= -24t 3t2-1 y1y2= 36 3t2-1

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t

36

3t2-1

+3

-24

3t2-1

=0
所以向量

BP

与

BN

共线，
即B、P、N三点共线．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及双曲线的方程．根据|

OA

|=2|

OB

|以及

OA

•

OC

=2，联立求出a与c的值是关键．第二问在第一问的基础上运用设而不求韦达定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值．属于中档题．