Question

求证：二项式x²ⁿ-y²ⁿ (n∈N^*)能被x+y整除.

Answer 1

证明略

解析:

（1）当n=1时，x²-y²=(x+y)(x-y),

能被x+y整除，命题成立.

（2）假设当n=k（k≥1,k∈N^*）时，x^2k-y^2k能被x+y整除，

那么当n=k+1时，

x^2k+2-y^2k+2=x²·x^2k-y²·y^2k

=x²x^2k-x²y^2k+x²y^2k-y²y^2k

=x²(x^2k-y^2k)+y^2k(x²-y²),

显然x^2k+2-y^2k+2能被x+y整除，

即当n=k+1时命题成立.

由（1）（2）知，对任意的正整数n命题均成立.