Question

在△ABC中，边AC=1，AB=2，角A=

2π

3

，过A作AP⊥BC于P，且

AP

=λ

AB

+μ

AC

，则λμ=

 

．

Answer 1

分析：建立坐标系，用坐标表示向量，求出点P的坐标，代入

AP

=λ

AB

+μ

AC

，求出λ、μ的值，即得结果．

解答：解：建立坐标系，如图，；
设点P（x，y），则

AP

=（x，y），
∵

AB

=（2，0），|

AC

|=1，∠CAB=

2π

3

，∴

AC

=（-

1

2

，

3

2

）；
∴

BC

=

AC

-

AB

=（-

5

2

，

3

2

）；
又∵

AP

⊥

BC

，∴-

5

2

x+

3

2

y=0①；

BP

与

BC

共线，∴

3

2

（x-2）-（-

5

2

y）=0②；
由①②组成方程组，解得x=

3

14

，y=

5 3

14

，
∴

AP

=（

3

14

，

5 3

14

）；
又∵

AP

=λ

AB

+μ

AC

，
∴（

3

14

，

5 3

14

）=λ（2，0）+μ（-

1

2

，

3

2

）=（2λ-

1

2

μ，

3

2

μ），
即

2λ- 1 2 μ= 3 14 3 2 μ= 5 3 14

，
解得

λ= 2 7 μ= 5 7

，
∴λμ=

2

7

×

5

7

=

10

49

；
故答案为：

10

49

．

点评：本题考查了平面向量的线性运算以及向量垂直和共线等问题，是综合性题目．