Question

13．已知a、b∈R，a²+ab+b²=3，则a²-ab+b²的最大值与最小值之和为[1，9]．

Answer 1

分析 由a²+ab+b²=3，可得$（a+\frac{1}{2}b）^{2}$+$（\frac{\sqrt{3}}{2}b）^{2}$=3，令$a+\frac{1}{2}b=\sqrt{3}cosθ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}b=\sqrt{3}sinθ$，θ∈[0，2π），可得b=2sinθ，a=$\sqrt{3}cosθ-sinθ$．则a²-ab+b²=-$4sin（2θ+\frac{π}{6}）$+5，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：由a²+ab+b²=3，可得$（a+\frac{1}{2}b）^{2}$+$（\frac{\sqrt{3}}{2}b）^{2}$=3，
令$a+\frac{1}{2}b=\sqrt{3}cosθ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}b=\sqrt{3}sinθ$，θ∈[0，2π），
可得b=2sinθ，a=$\sqrt{3}cosθ-sinθ$．
则a²-ab+b²=$（\sqrt{3}cosθ-sinθ）^{2}$-$（\sqrt{3}cosθ-sinθ）•2sinθ$+（2sinθ）²
=-$4sin（2θ+\frac{π}{6}）$+5，
∵$sin（2θ+\frac{π}{6}）$∈[-1，1]，
∴a²-ab+b²∈[1，9]．
故答案为：[1，9]．

点评 本题考查了三角函数的代换、三角函数的单调性、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．