Question

（本小题15分）
设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
（Ⅲ）设，，且，证明：≤.

Answer 1

解：（Ⅰ）分别令，2，3，得

∵，∴，，.
（Ⅱ）证法一：猜想：，由           ①
可知，当≥2时，  ②
①-②，得 ，即.
1）当时，，∵，∴；
2）假设当（≥2）时，.
那么当时，

，
∵，≥2，∴，
∴.
这就是说，当时也成立，
       ∴（≥2）. 显然时，也适合.
故对于n∈N*，均有
（Ⅲ）要证≤，
只要证≤，
即≤，
将代入，得≤，.m
即要证≤，即≤1.
∵，，且，∴≤,
即≤，故≤1成立，所以原不等式成立.

略