Question

周长为

2

+1的直角三角形面积的最大值为

1

4

．

Answer 1

分析：设两直角边为a，b，斜边长为c，依题意，a+b+

a2+b2

=

2

+1，利用基本不等式可求得

ab

≤

2

2

，从而可求得
该直角三角形面积的最大值．

解答：解：设两直角边为a，b，斜边长为c，
则c²=a²+b²，且a+b+

a2+b2

=

2

+1，
∴

2

+1=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=（2+

2

）

ab

，
即

ab

≤

2

2

，当且仅当a=b时取等号．
∴三角形的面积S=

1

2

ab≤

1

2

×

1

2

=

1

4

，
即S_max=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查基本不等式，依题意，得到a+b+

a2+b2

=

2

+1是应用基本不等式基础，考查创新与运算能力，属于中档题．