Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+

3

cosA=2．
（1）求A的大小；
（2）现给出三个条件：①a=2； ②c=

3

b；③B=45°．
试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积．（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）

Answer 1

分析：（1）把已知等式的左边提取2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，求出sin（A+

π

3

）的值，由A的范围，得到A+

π

3

的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）若选条件①和③，由a及B的度数，及第一问求出的A的度数，利用正弦定理求出b的值，然后由A+B+C=π及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出sinC的值，由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；若选条件①和②，由a，c=

3

b及cosA的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而求出c的值，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；若选条件②和③，根据正弦定理得到sinC大于1，不成立．故前两种情况选择一种方案即可．

解答：解：（1）依题意得：sinA+

3

cosA=2（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=2sin（A+

π

3

）=2，
即sin(A+

π

3

)=1，（3分）
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

π

2

，
∴A=

π

6

；（5分）
（2）方案一：选条件①和②，（6分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=

a

sinA

sinB=2

2

，（8分）
∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

2 + 6

4

，（11分）
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×2×2

2

×

2 + 6

4

=

3

+1．（13分）
方案二：选条件①和③，（6分）
由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，有b²+3b²-3b²=4，则b=2，c=2

3

，（10分）
所以S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

．（13分）
说明：若选条件②和③，由c=

3

b得，sinC=

3

sinB=

6

2

＞1，不成立，这样的三角形不存在．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，诱导公式以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．