Question

已知函数y=的定义域为M，
（1）求M；
（2）当x∈M时，-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由，得，解得-1≤x＜1，
所以M={x|-1≤x＜1}；
（2）-2^x+2+3×4^x=-4•2^x+3•（2^x）²，
令t=2^x，因为x∈M，所以t∈[，2），
则-4•2^x+3•（2^x）²=3t²-4t=3，
所以当t=即x=时，-2^x+2+3×4^x取得最小值-，
-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，等价于-≥k，
所以实数k的取值范围是k；
分析：（1）要使函数有意义，须有，解出可得M；
（2）x∈M时，-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，等价于-2^x+2+3×4^x的最小值大于等于k，通过换元借助二次函数的性质可求得-2^x+2+3×4^x的最小值；
点评：本题考查函数恒成立问题、不等式的求解，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．