Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足Sn=

1

6

(an+1) (an+2)，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

(an-n+3)2

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求证：Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）先利用条件Sn=

1

6

(an+1) (an+2)，求出数列的首项，再利用当n≥2时，Sn-1=

1

6

(an-1+1) (an-1+2)，可求数列的通项，利用a₂，a₄，a₉成等比数列，求出满足条件的数列的通项．
（2）利用（1）的结论，先进行放缩，再利用裂项法可求数列{b_n}的前n项和，从而得证．

解答：解：（1）当n=1时，S1=a1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，∴a₁=1或a₁=2
当n≥2时，Sn-1=

1

6

(an-1+1) (an-1+2)①
∵Sn=

1

6

(an+1) (an+2)②
∴①-②，并整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0
∵数列{a_n}的各项均为正数
∴a_n-a_n-1=3
当a₁=1时，a_n=3n-2，此时满足a₂，a₄，a₉成等比数列．
当a₁=2时，a_n=3n-1，此时不满足a₂，a₄，a₉成等比数列
∴a_n=3n-2
（2）根据（1）的结论可得bn=

1

(an-n+3)2

=

1

4n2+4n+1

＜

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n-1

)
∴Tn=b1+b2+…+bn＜

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n-1

)]=

1

4

(1-

1

n-1

)＜

1

4

∴Tn＜

1

4

点评：本题以数列的前n项和为载体，考查数列通项的求解，考查放缩法，考查裂项法求和，解题的关键是适度放缩，再利用裂项法．