Question

椭圆E的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，其中左焦点F₁与抛物线y=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点，切当l⊥X轴时，

|CD|

|AB|

=2

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求

F2A

•

F2B

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）又抛物线方程求椭圆中c的值，再根据椭圆与抛物线的通径比求出a，b关系式，椭圆方程可解．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程与椭圆方程联立，得x₁x₂与x₁+x₂，再代入

F2A

•

F2B

，化简，即可得到关于k的式子，其范围也就是

F2A

•

F2B

的范围．进而求出最值．

解答：解：（1）∵椭圆的中心在原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，∴c=1
∵过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，∴AB为椭圆通径，CD为抛物线通经，
∵

|CD|

|AB|

=2

2

，∴

4

2b2 a

=2

2

，b²=

2

2

a，∵a²=b²+c²，得a=

2

，b=1，∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得，

x2

2

+ k2(x+1)2=1
∴x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，x₁+x2=

-4k2

1+2k2

..

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

--

9 2

1+2k2

∵k²∈[0，+∞），∴

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

）
②当直线l斜率不存在时，可得啊（-1，

2

2

）B（-1，-

2

2

），此时，

F2A

•

F2B

=

7

2

．
综上，

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

]

点评：本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合应用，属常规题，应当掌握解法．