Question

市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正数），预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为1000件．
（1）写出该商品销售总金额y与x的函数关系，并求出当k=

1

2

时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？
（2）如果在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1-

1

2

x%）×1000个，故可得销售总额，利用配方法可求得结论；
（2）价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1-kx%）×1000个，故可得销售总额，从而可得函数的对称轴为x=

50-50k

k

，利用在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，建立不等式，即可求得k的取值范围．

解答：解：（1）由题意，价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1-

1

2

x%）×1000个，
故销售总额y=（1+x%）×10×（1-

1

2

x%）×1000=

1

2

（-x²+100x+20000）=-

1

2

（x-50）²+22500
∴x=50，即商品的价格上涨50%时，销售总额达到最大；
（2）销售总额y=（1+x%）×10×（1-kx%）×1000=-kx²+（100-100k）x+10000，函数的对称轴为x=

50-50k

k

∵在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加
∴

50-50k

k

≥100，k＞0
∴0＜k≤

1

3

∴k的取值范围为0＜k≤

1

3

点评：本题考查函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数关系式．