Question

如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的一段图象．
（I）求φ的值及函数f（x）的解析式；
（II）求函数g(x)=f(x-

π

4

)的最值及零点．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的图象直接求出A，推出函数的周期，利用周期公式求出ω，图象过点(-

π

12

，0)，结合φ的范围求φ的值，即可得到函数f（x）的解析式；
（II）通过函数g(x)=f(x-

π

4

)，求出它的表达式，利用正弦函数的最值以及x的取值，求出函数的最值，利用正弦函数的零点求出函数的零点．

解答：解：（I）由图可知，A=2．…（2分）
函数的周期T=2[

5π

12

-(-

π

12

)]=π，所以ω=

2π

T

=2．…（4分）
因为图象过点(-

π

12

，0)，所以2sin[2(-

π

12

)+φ]=0，即sin(φ-

π

6

)=0．
所以φ-

π

6

=kπ(k∈Z)．因为|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)．…（7分）
（II）依题意，g(x)=2sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]=2sin(2x-

π

3

)．
当2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

5π

12

，k∈Z时，y取得最大值，且最大值等于2．
当2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=kπ-

π

12

，k∈Z时，y取得最小值，且最小值等于-2．…（10分）
因为2x-

π

3

=kπ，k∈Z时，g（x）=0，
所以，函数g（x）零点为

kπ

2

+

π

6

(k∈Z)．…（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，正弦函数的基本知识，考查计算能力．