Question

一同学为研究函数f（x）=+（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），则推知函数g（x）=5f（x）-11的零点的个数是

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：由题意可得函数f（x）=+=AP+PF，可得f（x）的最小值为＞，由于函数g（x）=5f（x）-11的零点的个数，就是方程 f（x）=的解的个数，从而得出结论．
解答：由题意可得函数f（x）=+=AP+PF，
当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为＞，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为+1＞．
g（x）=5f（x）-11=0，即 f（x）=．
由题意可得，函数g（x）=5f（x）-11的零点的个数，就是方程 f（x）=的解的个数．
再由f（x）的最小值为＞，可得方程 f（x）=无解，
故选A．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．