题目内容
(2013•青岛二模)一同学为研究函数f(x)=
+
(0≤x≤1)的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点,设CP=x,则AP+PF=f(x),请你参考这些信息,推知函数g(x)=4f(x)-9的零点的个数是
1+x2 |
1+(1-x)2 |
2
2
.分析:由题意可得当A、P、F共线 时,f(x)取得最小值为
<
,当P与B或C重合时,f(x)取得最大值为
+1>
.g(x)=4f(x)-9的零点的个数就是f(x)=
的解的个数,而由题意可得 f(x)=
的解有2个,从而得出结论.
5 |
9 |
4 |
2 |
9 |
4 |
9 |
4 |
9 |
4 |
解答:解:由题意可得 函数f(x)=
+
=AP+PF,当A、P、F共线 时,f(x)取得最小值为
<
,当P与B或C重合时,f(x)取得最大值为
+1>
.
g(x)=4f(x)-9=0,即 f(x)=
.故函数g(x)=4f(x)-9的零点的个数就是f(x)=
的解的个数.
而由题意可得 f(x)=
的解有2个,
故答案为 2.
1+x2 |
1+(1-x)2 |
5 |
9 |
4 |
2 |
9 |
4 |
g(x)=4f(x)-9=0,即 f(x)=
9 |
4 |
9 |
4 |
而由题意可得 f(x)=
9 |
4 |
故答案为 2.
点评:本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,体现了化归与转化的数学思想,属于中档题.
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