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函数y=lgx的定义域是（ ）
A、（-∞，+∞）
B、[0，+∞）
C、（0，+∞）
D、（-∞，0）
试题答案
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分析：
根据对数的真数大于0，求得函数的定义域．
解答：
解：由对数的真数大于0得，x＞0，
∴函数的定义域为（0，+∞），
故选C．
点评：
本题考查了函数的定义域及其求法．
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定义：如果数列{a
n
}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a
n
}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a
n
}，如果函数y=f（x）使得b
n
=f（a
n
）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a
n
}的“保三角形函数”，（n∈N
﹡
）．
（1）已知{a
n
}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k
x
，（k＞1）是数列{a
n
}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{c
n
}的首项为2010，S
n
是数列{c
n
}的前n项和，且满足4S
n+1
-3S
n
=8040，证明{c
n
}是“三角形”数列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中数列{c
n
}的“保三角形函数”，问数列{c
n
}最多有多少项．
[理科]根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x
2
+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．
给出下列四个命题：
①“向量
a
，
b
的夹角为锐角”的充要条件是“
a
•
b
＞0”；
②如果f（x）=lgx，则对任意的x
1
、x
2
∈（0，+∞），且x
1
≠x
2
，都有f（
x
1
+
x
2
2
）＞
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
；
③设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f（x）=x
2
-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是[2，3]；
④记函数y=f（x）的反函数为y=f
-1
（x），要得到y=f
-1
（1-x）的图象，可以先将y=f（x）的图象关于直线y=x做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，即得到y=f
-1
（1-x）的图象．
其中真命题的序号是
．（请写出所有真命题的序号）
下列命题中：
①f（x）的图象与f（-x）关于y轴对称．
②f（x）的图象与-f（-x）的图象关于原点对称．
③y=|lgx|与y=lg|x|的定义域相同，它们都只有一个零点．
④二次函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x）并且有最小值，则f（0）＜f（5）．
⑤若定义在R上的奇函数f（x），有f（3+x）=-f（x），则f（2010）=0
其中所有正确命题的序号是
①②④⑤
①②④⑤
．
定义：如果数列{a
n
}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a
n
}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a
n
}，如果函数y=f（x）使得b
n
=f（a
n
）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a
n
}的“保三角形函数”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{a
n
}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k
x
（k＞1）是数列{a
n
}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列{c
n
}的首项为2013，S
n
是数列{c
n
}的前n项和，且满足4S
n+1
-3S
n
=8052，证明{c
n
}是“三角形”数列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中数列{c
n
}的“保三角形函数”，问数列{c
n
}最多有多少项？
（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）
我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x
1
∈D，存在唯一的x
2
∈D，使得
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
=C
，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：
是
是
．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：
2
2
．
（2）请先学习下面的证明方法：
证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
3
2
是其“和谐数”．
证明过程如下：对任意x
1
∈[10，100]，令
g(
x
1
)+g(
x
2
)
2
=
3
2
，即
lg
x
1
+lg
x
2
2
=
3
2
，
得
x
2
=
1000
x
1
．∵x
1
∈[10，100]，∴
x
2
=
1000
x
1
∈[10，100]
．即对任意x
1
∈[10，100]，存在唯一的
x
2
=
1000
x
1
∈[10，100]
，使得
g(x)+g(
x
2
)
2
=
3
2
．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，
3
2
是其“和谐数”．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2
x
，x∈（1，3）为“和谐函数”；
（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明．
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