题目内容
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且，acosB+bcosA=1，（I）求c；
（II）若tan（A+B）=-
| 3 |
| CA |
| CB |
分析：（I）利用正弦定理
=
=
表示出a与b，代入已知的等式中，利用二倍角的正弦函数公式化简，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+B）=sinC，等量代换可得c的值；
（II）由tan（A+B）的值，根据A和B的范围求出A+B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A+B的度数，进而求出C的度数，利用余弦定理表示出c2，把c的值及cosC的值代入，利用基本不等式即可求出ab的最大值，又根据平面向量的数量积运算法则可求出所求式子等于ab的一半，进而求出所求式子的最大值．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
（II）由tan（A+B）的值，根据A和B的范围求出A+B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A+B的度数，进而求出C的度数，利用余弦定理表示出c2，把c的值及cosC的值代入，利用基本不等式即可求出ab的最大值，又根据平面向量的数量积运算法则可求出所求式子等于ab的一半，进而求出所求式子的最大值．
解答：解：（I）由acosB+bcosA=1及正弦定理，得
•cosB+
•cosA=1，即csinAcosB+csinBcosA=sinC，
∴csin（A+B）=sinC，
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC≠0，
∴c=1；（4分）
（II）∵tan（A+B）=-
，A和B为三角形的内角，故0＜A+B＜π，
∴A+B=
，
∴C=π-（A+B）=
，（5分）又c=1，且
•
=|
||
|cosC=
ab，
由余弦定理得，12=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=2
•
，
∴
•
≤
，当且仅当a=b=1时取“=”号．
所以
•
的最大值是
．（10分）
| csinA |
| sinC |
| csinB |
| sinC |
∴csin（A+B）=sinC，
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC≠0，
∴c=1；（4分）
（II）∵tan（A+B）=-
| 3 |
∴A+B=
| 2π |
| 3 |
∴C=π-（A+B）=
| π |
| 3 |
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
| 1 |
| 2 |
由余弦定理得，12=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=2
| CA |
| CB |
∴
| CA |
| CB |
| 1 |
| 2 |
所以
| CA |
| CB |
| 1 |
| 2 |
点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及平面向量的数量积的数量积运算法则，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A、
| ||||
| B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
|