Question

已知函数f（x）=，x∈[0，1]，
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）对函数f（x）=，x∈[0，1]，求导，得
f′（x）==-，
令f′（x）=0解得x=或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：

所以，当x∈（0，）时，f（x）是减函数；当x∈（，1）时，f（x）是增函数．
当x∈[0，1]时，f（x）的值域是[-4，-3]．
（II）对函数g（x）求导，则g′（x）=3（x²-a²）．
因为a≥1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜5（1-a²）≤0，
因此当x∈（0，1）时，g（x）为减函数，
从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）]，
又g（1）=1-2a-3a²，g（0）=-2a，
即当x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，
任给x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁），
则[1-2a-3a²，-2a]?[-4，-3]，即，
解①式得a≥1或a≤-，
解②式得a≤，
又a≥1，故a的取值范围内是1≤a≤．
分析：（1）先对函数f（x）=，x∈[0，1]，求导，先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值，即可得到答案．
（II）先对函数g（x）求导，则g′（x）=3（x²-a²）．利用导数求出函数g（x）的取值范围，即当x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，最后依据题意：“任给x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁），”得到：[1-2a-3a²，-2a]?[-4，-3]，从而列出不等关系求得a的取值范围即可．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．