Question

设双曲线nx²-（n+1）y²=1（n∈N^*）上动点P到定点Q（1，0）的距离的最小值为d_n，则

lim

n→+∞

dn的值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  1

  2

• C、0
• D、1

Answer 1

分析：设动点P（x，y），由Q（1，0），利用两点间距离公式求出|PQ|=

x2-2x+1+ n n+1 x2- 1 n+1

，再由极限知识和一元二次方程性质和配方法能求出

lim

n→+∞

dn．

解答：解：设动点P（x，y），则nx²-（n+1）y²=1，
∴y²=

nx2-1

n+1

，
∵Q（1，0），
∴|PQ|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+ nx2-1 n+1

=

x2-2x+1+ n n+1 x2- 1 n+1

，
∴

lim

n→+∞

dn=（

lim

n→+∞

x2-2x+1+ n n+1 x2- 1 n+1

）_min
=(

2x2-2x+1

)min
=(

2(x- 1 2 )2+ 1 2

)min
=

2

2

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及到两点间知识公式、极限、双曲线、一元二次方程性质等知识点，解题时要注意配方法的合理运用．