Question

已知an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，用数学归纳法证明：n∈N^*时，a_n＜1．

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤，n=1时验证不等式成立，假设n=k时不等式成立，然后证明n=k+1时，不等式也成立．

解答：解：利用数学归纳法证明．
①当n=1时，a₁=

1

2

＜1；
②假设n=k时，不等式成立，即ak=

1+22+33+…+kk

(k+1)k

＜1．
那么n=k+1时，ak+1=

1+22+33+…+(k+1)k+1

(k+2)k+1

＜

(k+1)k+(k+1)k+1

(k+2)k+1

=

(k+1)k

(k+2)k

＜1．
这就是说，n=k+1时，不等式也成立．
所以an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，对于n∈N^*时，a_n＜1成立．

点评：本题是中档题，考查数列在不等式证明中的应用，考查数学归纳法的证明步骤，注意用上假设是证明问题的关键．