Question

方程2^m•3ⁿ-3ⁿ⁺¹+2^m=13的非负整数解（m，n）=

 

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Answer 1

分析：方程2^m•3ⁿ-3ⁿ⁺¹+2^m=13变形为3ⁿ（2^m-3）+2^m=13．（*）．由于m，n为非负整数，通过分类讨论：当m=0，1时，直接验证．当m=2时，（*）化为3ⁿ+2²=13，解得n．当m=3时，（*）化为5•3ⁿ+2³=13，解得n．当m≥4时，2^m-3≥13，左边＞右边，（*）无非负整数解．

解答：解：方程2^m•3ⁿ-3ⁿ⁺¹+2^m=13变形为3ⁿ（2^m-3）+2^m=13．（*）
∵m，n为非负整数，
∴当m=0，1时，经验证无解，应舍去．
当m=2时，（*）化为3ⁿ+2²=13，解得n=2．此时方程的非负整数解为（2，2）．
当m=3时，（*）化为5•3ⁿ+2³=13，即3ⁿ=1，解得n=0．
当m≥4时，2^m-3≥13，左边＞右边，（*）无非负整数解．
综上可知：方程2^m•3ⁿ-3ⁿ⁺¹+2^m=13的非负整数解（m，n）=（3，0），（2，2）．
故答案为：（3，0），（2，2）．

点评：本题考查了指数函数类型的方程的解法、指数函数的性质、分类讨论方法，属于难题．