Question

4．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提出了p（p∈N₊）条建议，已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议，求证该校的班级数不多于2^p-1个．

Answer 1

分析 先设他们的建议分别组成集合：A₁，A₂，A₃，…，A_m，再根据条件得出，在A₁，A₂，A₃，…，A_m中至多有A的$\frac{1}{2}$×2^p=2^p-1个子集．

解答 证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合：
A₁，A₂，A₃，…，A_m，
由于没有两个班提出全部相同的建议，
所以这些集合中没有两个相同的，
而任何两个集合都有相同的元素，
因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集．
这样在A₁，A₂，A₃，…，A_m中至多有A（所有p条建议所组合的集合）的$\frac{1}{2}$×2^p=2^p-1个子集，
所以，m≤2^p-1，证毕．

点评 本题主要考查了与集合和元素有关命题的证明，涉及集合元素的个数，以及子集与补集的应用，属于难题．