题目内容
【题目】已知椭圆 
（a＞b＞0）上一点与它的左、右两个焦点F1 ， F2的距离之和为2 
，且它的离心率与双曲线x2﹣y2=2的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．
【答案】
（1）由椭圆的定义知2a=2 
，
双曲线x2﹣y2=2的离心率为 ，
故椭圆 
的离心率e= 
，
故a= ，c=1，b=1；
故椭圆的方程为 
+y2=1；
（2）①证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），则C（﹣xA，﹣yA），
设直线BA的方程为y=k（x+1），
联立方程 
化简得，
（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
∴xA+xB=﹣ 
，
yA+yB=k（xA+xB）+2k=k（﹣ +2）=k 
，
∴kABkBC=k 
= 
=﹣ 
；
②当直线AB的斜率不存在时，
可知A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），C（1，﹣ ），
故S△ABC= ，
当直线AB的斜率存在时，由①知，
xA+xB=﹣ ，xAxB= 
，
故|xA﹣xB|= 
=2 
，
故|AB|= 
|xA﹣xB|
=2 
，
点C到直线AB的距离d= 
= 
，
故S△ABC= （2 ）
=2 
=2 
＜ ，
故△ABC面积的最大值为 ，此时AB的方程为x+1=0．
【解析】（1）易知2a=2 ，e= ，从而解得；（2）①设A（xA ， yA），B（xB ， yB），则C（﹣xA ， ﹣yA），从而设直线BA的方程为y=k（x+1），联立方程化简（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，从而可得xA+xB=﹣ ，yA+yB=k ，从而证明．②分情况讨论以分别确定△ABC的面积的取值范围，从而解得．
