Question

已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并指出函数f（x）的单调性（单调性不需证明）．

Answer 1

分析：（1）令对数函数的真数大于0，解分式不等式求出x的范围写出区间形式即为定义域；将真数分离常数，利用反比例函数的值域求出函数f（x）的值域．
（2）利用函数的奇偶性的定义，先求出函数的定义域关于原点对称，再检验f（-x）与f（x）的关系，判断出函数的奇偶性，利用复合函数的单调性：同增异减判断出函数的单调性．

解答：解：（1）由题意得 

1-x

1+x

＞0解得-1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}
∵

1-x

1+x

=

-x-1+2

1+x

=

2

1+x

-1
又-1＜x＜1
∴0＜x+1＜2，

2

1+x

＞1，

2

1+x

-1＞0，
∴lg(

2

1+x

-1)∈R
∴函数f（x）的值域为R
（2）对?x∈{x|-1＜x＜1}都有
f(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f(x)
∴f（x）为奇函数
∵令t=

1-x

1+x

=

-x-1+2

1+x

=

2

1+x

-1在（-1，1）递减
∵y=lgt在定义域上为增函数
∴f(x)=lg

1-x

1+x

在（-1，1）递减

点评：解决判断函数的奇偶性：应该先求出函数的定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；判断复合函数的单调性利用其法则：同增异减进行判断．