Question

如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为

3

的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2．
（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；
（Ⅱ）求二面角O-AC-O₁的大小．

Answer 1

分析：本题可用两种方法来解答：
（解法一）（I）利用几何体中的垂直关系建立空间直角坐标系，求

AC

•

BO1

=0来证明垂直；
（II）求平面OAC和平面O₁AC的法向量，再求二面角O-AC-O₁的平面角的余弦值．
（解法二）（I）由题意知证出AO⊥平面OBCO₁，再由给出的长度求出OC⊥BO₁，由三垂线定理AC⊥BO₁；
（II）由（I）证出BO₁⊥平面AOC，利用其垂直关系作出二面角O-AC-O₁的平面角，在直角
三角形中解．

解答：解：解法一（I）证明：由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁．
∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．
故可以O为原点，OA、OB、OO₁，
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，

3

）
O₁（0，0，

3

）．
∴

AC

=（-3，1，

3

），

BO1

=（0，-3，

3

），

AC

•

BO1

=-3+

3

•

3

=0．
∴AC⊥BO₁．

（II）解：∵

BO1

•

OC

=-3+

3

•

3

=0，∴BO₁⊥OC，
由（I）AC⊥BO₁，∴BO₁⊥平面OAC，

BO1

是平面OAC的一个法向量．
设

n

=（x，y，z）是平面O₁AC的一个法向量，
由

n • AC =0 n • O1C =0

?

-3x+y+ 3 z=0 y=0.

，取z=

3

，得

n

=（1，0，

3

）．
设二面角O-AC-O₁的大小为θ，由

n

、

BO1

的方向知，
cosθ=cos＜

n

，

BO1

＞=

n • BO1

| n |•| BO1 |

=

3

4

即二面角O-AC-O₁的大小是arccos

3

4

．

解法二（I）证明：由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，
∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB．则AO⊥平面OBCO₁，OC是AC在面OBCO₁内的射影．
∵tan∠OO₁B=

OB

OO1

=

3

，tan∠O₁OC=

O1C

OO1

=

3

3

，
∴∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，则OC⊥BO₁
由三垂线定理得AC⊥BO₁．

（II）解：由（I）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC．
设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连接O₁F（如图4），
则EF是O₁F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O₁F⊥AC．
∴∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角．
由题设知OA=3，OO₁=

3

，O₁C=1，
∴O₁A=

OA2+O O 2 1

=2

3

，AC=

O1A2+O1C2

=

13

，
∴O₁F=

O1A•O1C

AC

=

2 3

13

，又O₁E=OO₁•sin30°=

3

2

，
∴sin∠O₁FE=

O1E

O1F

=

13

4

即二面角O-AC-O₁的大小是arcsin

13

4

．

点评：本题为一题多解的情况，一种是向量法，需要利用已有的垂直关系建立空间直角坐标系，向量的数量积来证垂直，求平面的法向量来求二面角的余弦值；另一种用垂直关系的定义和定理，三垂线定理来证明垂直，作出二面角O-AC-O₁的平面角．向量法简单．