Question

在数列{a_n}中，（c为常数，n∈N*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过已知条件，方程去倒数，即可推出数列满足等差数列的定义，说明数列是等差数列；
（Ⅱ）通过第一问，直接求出a₁，a₂，a₅，利用等比数列直接求出c的值；
（Ⅲ）通过第二问，求出a_n，然后利用b_n=a_na_n+1，通过裂项法直接求数列{b_n}的前n项和S_n．
解答：解：（Ⅰ）因为，所以a_n≠0，
则，又c为常数，
∴数列是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
∵a₁=1，∴a₂=，a₅=，
∵a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列，所以，
解得c=0或c=2，当c=0时，a_n=a_n+1，不满足题意，舍去，
所以c的值为2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴，
b_n=a_na_n+1==，
所以数列{b_n}的前n项和
S_n==
点评：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，数列的递推关系式的应用，裂项法求和，考查分析问题解决问题的能力．