题目内容
已知点A（1，1）是椭圆
+
=1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点C，D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点C，D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．
（1）∵A（1，1）是椭圆
+
=1(a＞b＞0)上的一点，F1、F2为两个焦点，
|AF1|+|AF2|=4，
∴2a=4，a=2，（2分）
+
=1，
∴b2=
，∴c2=4-
=
，（4分）
∴e=
=
．椭圆的方程为
+
=1．（6分）
（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），
∵直线AC、AD的倾斜角互补，
∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）
由
，得（1+3k2）x2+3（2k-2k2）x+3（k2-2k）-1=0（10分）
∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．
∴xC=
，同理，xD=
．（12分）
∴kCD=
=
=
=
．
故直线CD的斜率为定值
．（13分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
|AF1|+|AF2|=4，
∴2a=4，a=2，（2分）
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| b2 |
∴b2=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| 3y2 |
| 4 |
（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），
∵直线AC、AD的倾斜角互补，
∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）
由
|
∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．
∴xC=
| 3(k2-2k)-1 |
| 1+3k2 |
| 3(k2+2k)-1 |
| 1+3k2 |
∴kCD=
| yC-yD |
| xC-xD |
| k(xC-1)+1+k(xD-1)-1 |
| xC-xD |
| k(xC+xD)-2k |
| xC-xD |
| 1 |
| 3 |
故直线CD的斜率为定值
| 1 |
| 3 |
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